czwartek, 17 grudnia 2015

SNELLIUS vs. PITAGORAS 1:0


     Czyli o dalekich obserwacjach od kuchni...

Snajperzy z lufą o długiej ogniskowej zawsze gdybają o granicach możliwości obserwacyjnych z danego punktu. Możliwe? Niemożliwe? Prawdopodobne? Na szczęście wszystko da się policzyć w zasadzie bez większego wysiłku. Do podstawowych założeń którymi będziemy operować, to fakt że ziemia w przybliżeniu jest kulą o znanym, uśrednionym promieniu. Geometrio! Przychodź w sukurs! Liczymy...
 

  R=6371⋅103 m (uśredniony promień ziemi)
 h=wysokość punktu obserwacyjnego (w metrach)
d=odległość do widnokręgu (w kilometrach)

Zatem podpinamy to do najzwyklejszego na świecie twierdzenia Pitagorasa

(R+h)2=d2+R2
d2=R2-(R+h)2
d2=R2-R2+2Rh+h2
d2=2Rh+h2
 d= 2Rh+h2
d= h(2R+h)
 d=⋅ √2R+h

Tutaj dochodzimy do dramatycznego momentu. Sytuacja wygląda następująco: W równaniu po prawej stronie została tylko jedna zmienna pod dwoma pierwiastkami. Pokusimy się o wyciągnięcie stałej! Stosunek wysokości obserwatora "h" do podwójnego promienia Ziemi "2R", czyli w zasadzie jej średnicy jest znikomo mały i dla wysokości np Gerlacha wynosi  0,02% co jest znacznie mniejsze od chociażby 5% błędu w rozkładzie Gaussa. Zatem bezpardonowo wywalamy to spod pierwiastka.

d=2R ⋅ √h
d=12742⋅103h
d=3569,593 ⋅ √h

Modyfikując wyrażenie dla dystansu w kilometrach wychodzi nam:

d=3,569 ⋅ √h  [km]

 Natomiast w sytuacji w której podawalibyśmy wszystkie wartości w kilometrach, to równanie przybierze taką formę:

d=2R ⋅ √h
d=12744h
d=112,889 ⋅ √h

Przypadek możemy rozwinąć do sytuacji, gdy obiekt poza widnokręgiem posiada niezerową wysokość ponad Ziemią. Tutaj wystarczy do wyrażenia dodać "lustrzany" fragment z drugą zmienną "h2".



d=3,569 ⋅ √h1 + 3,569 ⋅ √h2
 d=3,569 ⋅ (√h1 + √h2) [km]

Oraz odpowiednio dla wartości podawanych w kilometrach

d=112,889 ⋅ √h1 + 112,889 ⋅ √h2
 d=112,889 ⋅ (√h1 + √h2) [km]

       Jednak to nie koniec! Było by zdecydowanie gorzej dla obserwatorów, gdyby fotony biegły tak jak na lekcji fizyki w szkole podstawowej. Tzn. po linii prostej, jednym maźnięciem od ekierki. Willebrord Snell aka Snellius, paradujący w fałdowanej kryzie dowiódł, że z rozchodzeniem się promieni świetlnych jest jednak ciut więcej zagwozdek. Szczególnie gdy punktem zainteresowania będzie tor światła w naszej atmosferze, którą trudno uznać za ośrodek jednorodny. Na nasze szczęście optyka spuszcza srogi wpierdziel geometrii, dając nam czasem nawet parędziesiąt metrów podniesienia horyzontu w stosunku do geometrycznej rzeczywistości. Doszliśmy więc do błogosławieństwa dalekich obserwacji - refrakcji atmosferycznej.

     Współczynnik załamania powietrza zależny jest od jego gęstości, która z kolei jest zależna głównie od ciśnienia i temperatury oraz wilgotności. Warstwy powietrza o różnej gęstości, będą miały różne współczynniki załamania (w przypadku powietrza gęstsza warstwa ma większy współczynnik) i zgodnie z twierdzeniem Pana Snelliusa fotony będą odchylać swój tor przy przechodzeniu z warstwy do warstwy. W dużym uproszczeniu, możemy traktować taką atmosferę, jako układ soczewek załamujących światło z różnymi współczynnikami załamania. W standardowych warunkach, refrakcja atmosferyczna przesuwa zasięg widnokręgu o ok. 8% w stosunku do wartości geometrycznej. Mnożąc powyższe wzory przez współczynnik 1,08 otrzymujemy równania ostateczne.  

Dla wartości podanych w metrach:

d=3,854 ⋅ √h  [km]  
d=3,854 ⋅ (√h1 + √h2) [km]

Dla wartości podanych w kilometrach:

d=121,92 ⋅ √h  [km]  
d=121,92 ⋅ (√h1 + √h2) [km]

Miejmy jednak na uwadze, że powyższe równania dotyczą jednak przyjętego warunkowo uśrednionego promienia Ziemi - 6371 km i standardowej, refrakcji. Przy zwiększonym załamywaniu drogi światła, stała w równaniu będzie dążyła do 4-ki lub nawet będzie ją przekraczać.

Pamiętaj Pitagorasie. W tym sporcie, linii prostej nie ma, nie było i nie będzie... Szach mat!