czwartek, 13 października 2016

KRZYWIZNA TO NIE WSZYSTKO



 "Na początku było Odchrząknięcie… Potem Słowo…"

Terry Prachett - "Blask Fantastyczny"

Lecimy od spraw podstawowych... Biorąc pod lupę dalekie obserwacje, warto się przyjrzeć niektórym  zależnościom z zakresu optyki i geometrii. Na ruszt polecą dziś proste wywody, równania i masa cyferek. Z tego matematycznego rozgardiaszu, wyciągniemy liczbę odcinka. Będzie ona obrazowała jak rzecz trywialna - krzywizna Ziemi zakłóca zerkanie za horyzont i jak bardzo trzeba się postarać, by to zerkanie uskutecznić. 


Cóż... Chcąc, nie chcąc żyjemy sobie na elipsoidzie obrotowej i obiekty po przekroczeniu pewnej odległości najzwyczajniej muszą zajść za horyzont. Pomimo, że już w mniej więcej 230 r p.n.e. Eratostenes potrafił wykazać, że Ziemia to jednak coś na kształt kuli i w dodatku niewiele się pomylił przy wyznaczaniu jej obwodu, to  do dziś przetrwały w ludzkich głowach koncepty płaskiej Ziemi, wklęsłej Ziemi i cholera jeszcze wie jakiej Ziemi. Nie zdziwiła by mnie nawet wiara w koncept Ziemi-sześcianu, skoro cała lawina nauki, nie zmiotła uprzednio wymienionych wersji.

Dzisiejsze rachunki będą na starcie obarczone pewnym błędem, bo na nasze potrzeby będziemy traktować Ziemię jak kulę, a nie jak geoidę. Wyniki będą rzecz jasna odbiegały od rzeczywistości w niektórych częściach globu, ale błąd nie będzie jakoś specjalnie rażący. Zatem ruszamy od podstaw, czyli od wykreślenia założeń i wyprowadzenia wzoru:



 Legenda:

R - uśredniony promień Ziemi: 6371 km.
x - krzywizna Ziemi
y - promień ziemi pomniejszony o krzywiznę Ziemi
d - odległość pomiędzy punktami AB
c- cięciwa łuku AB (nic istotnego)

Oczywistym jest, że promień naszej planety nie jest stały. Na równiku wynosi 6378 km i jest o ok. 20 km większy niż na biegunach. Niemniej, dla terenu Europy Środkowej promień Ziemi będzie niewiele mniejszy od uśrednionego, co oznacza mniej więcej tyle, że pomimo błędnego założenia kształtu Ziemi, nasze równanie będzie dość dokładne na szerokościach geograficznych Polski. Wyliczenie krzywizny Ziemi, opiera się na różnicy promienia Ziemi i i odcinka promienia Ziemi pomniejszonego o tą krzywiznę.

 x = R - y
cos(α/2) = y/R
y = R cos(α/2)
x = R - R cos(α/2)

Teraz wystarczy wyciągnąć stałą, jaką jest uśredniony promień Ziemi przed nawias. Otrzymana wartość, jest niczym innym jak strzałką cięciwy ograniczającą odcinek okręgu.

x = R [1 - cos(α/2)]   [km]

Sprawę można jeszcze nieco przeanalizować i równanie przerobić. Nieco praktyczniejszym, było by bezpośrednie podanie zależności pomiędzy krzywizną, a odległością między punktami AB. Nic prostszego. Najpierw posłużymy się kolejnym uśrednieniem, tym razem w odniesieniu do obwodu Ziemi wyrażonego jako:

Dśr =2πR
Dśr = 40030 km

Odcinek AB równy odległości d, jest wycinkiem okręgu o długości D. Zatem z proporcji łatwo można wyliczyć kąt zawarty pomiędzy środkiem Ziemi a punktami A i B. 


α = 360 d/Dśr
α = 360 d/40030
α = d/111,194

Powyższą wartość możemy śmiało wcisnąć do poprzedniego wzoru na krzywiznę Ziemi. Otrzymujemy zatem:

x = R [1 - cos(α/2)]
 x = R [1 - cos(d/2 111,194)]
 x = R [1 - cos(d/222,388)]   [km]

Wzór gotowy. Powiedzmy, że obserwujemy taki obiekt jak Gerlach z odległości 200 km. Po krótkiej rachubie wychodzi na to, że krzywizna na tym odcinku wyniesie 0,784 km czyli 784 metry. Od razu pojawia się pytanie - czy zatem wystarczy, by obiekt na dystansie 200 km miał większą wysokość niż 784 metry, by mógł być zaobserwowany? Odpowiedź brzmi: Chyba jak sobie namalujesz! Nie wystarczy, mało tego zaraz udowodnimy, że to dużo za mało. Takie zakrzywienie było by jedynym problemem, gdyby Ziemia była płaska jak czubek czapy chińskiego generała. Niestety, pozycje obiektów ulegają także względnemu odchyleniu, jako, że znajdują się na sferze. Maksymalna odległość z danej wysokości, była już wcześniej omawiana na blogu. Toteż skorzystam przy tym z tego samego szkicu sytuacyjnego.






W tym przypadku zmodyfikuję równanie na krzywiznę Ziemi i skorzystam z tożsamości trygonometrycznej kąta połówkowego:

cos(α/2) = (1+cosα)/2

Z kolei łatwo zauważyć, że w obecnej sytuacji możemy zamienić cosinus na stosunki odpowiednich boków:

cos(α)= R/R+h

W tej chwili możemy już obliczyć stosunek wysokości obiektu (w kilometrach), do krzywizny ziemi przy maksymalnej odległości obserwacji z tego obiektu. Stosunek h/x opiszemy sobie jako tzw. liczbę M (M jak liczba magiczna - taki mały hokus pokus).

M = h/R [1 -  (1+{R/R+h})/2]

Podstawiając wysokość dowolnego szczytu uzyskamy ten sam stosunek, nie ważne czy będzie to Mt. Everest, Śnieżka, Łysiec czy tam inny Gerlach. Przedstawiam Państwu...

  M = 4 

...Fantastyczną czwórkę! (sic!). Na naszej planecie ten stosunek zawsze będzie wynosił 4! (nie, nie cztery silnia). Co prawda, pomiędzy różnymi wysokościami są pewne różnice, ale dopiero na czwartym miejscu po przecinku. Zatem, obiekt musi być przynajmniej cztery razy większy niż krzywizna Ziemi na danym odcinku, by w ogóle był widoczny. Trzeba jeszcze wspomnieć o tym, że kalkulacja jest "surowa" i nie zawiera choćby wspomagania refrakcji i takich przeszkód jak inna góra na drodze toru światła. Rozpatrywany przypadek, dotyczy tylko obserwacji z poziomu morza, lub przy pewnym uproszczeniu z poziomu jakiejś niziny.

Sprawa się nieco komplikuje, gdy punkt obserwacyjny znajduje się na wyższym poziomie, a jego podstawa leży w obszarze zakrycia przez krzywiznę. Rozpatrzmy zatem nowy schemat z masą nowych problemów.



Jak widać, powyższy układ trójkątem prostokątnym nie jest, a nasz kąt α jest już kątem rozwartym. W związku z tym klasyczny rachunek trygonometryczny nieco się komplikuje. Na szczęście w sukurs przychodzi twierdzenie Carnota:

c2 = a2 + b2 - 2abcosα

Gdzie: a,b,c to długości poszczególnych boków trójkąta. Bok c leży naprzeciw kąta  α. W naszym przypadku istotne będzie uzyskanie wartości cosinusa, więc całość po przekształceniu przyjmie postać:

cosα =  (a2 + b2- c2)/2ab

Nasze boki będą równe następującym wartościom. Jeśli chodzi o bok c, to jego wartość przy danych podawanych w kilometrach, wyprowadziłem kiedyś w innym artykule. Po szczegóły odsyłam tutaj.

a = R+h1
b = R+h2
c = 112,889[h1+h2]

Teraz wystarczy podstawić nasze wartości w odpowiednie miejsca, by otrzymać monstrualne równanie.

cosα = ((R+h1)2 + (R+h2)2 - (112,889[h1+h2])2)/2(R+h1)(R+h2


Po krótkim namyśle stwierdzamy, że to równanie jest stanowczo zbyt mało monstrualne, więc 
wstawiamy go bezpośrednio do równania na liczbę M.
   
M = h1/R [1 -  (1 + {[(R+h1)2 + (R+h2)2 - (112,889[h1+h2])2])/2(R+h1)(R+h2)}/2]

M = h1/R [1 -  (1 + {[(R+h1)2 + (R+h2)2 - (12743,926[h1+h2])])/2(R+h1)(R+h2)}/2]


Do wzięcia pod lupę nadaje się np. obraz góry na wyspie, obserwowany z masztu jakiegoś okrętu. Powiedzmy, że STS Dar Młodzieży wybrał się w rejs na Morze Norweskie, gdzie pewnego poranka spostrzeżono ląd, ledwo wystający nad horyzontem.

h1 - Beerenberg: 2,277 km
h2 - maszt STS Dar Młodzieży: 0,045 km
M = 3,917

Drugim przykładem będzie pływający po Oceanie Spokojnym lotniskowiec USS Gerald R.Ford. Szczyt nadbudówki tego giganta leży mniej więcej 70 m nad lustrem wody, w zależności od stanu zanurzenia kadłuba. Jak zatem wygląda liczba M przy pierwszym spostrzeżeniu wyspy Hawaii?

h1 - Manua Kea: 4,205 km
h2 - nadbudówka USS Gerald R.Ford: 0,070 km
M = 3,937

Liczba M już przy niewielkiej wysokości zaczęła maleć. Choć wiąż obserwowany obiekt musi być prawie cztery razy większy niż krzywizna ziemi, by mógł być dostrzeżony. Wyliczmy jeszcze wartość M dla poszczególnych przykładów dalekich obserwacji. Posłużymy się wzorem na krzywiznę ze znaną odległością pomiędzy obiektami x = R [1 - cos(d/222,388)]. Wysokość szczytu wyższego będzie w równaniu wysokością porównywalną - h1 w stosunku do krzywizny.


Obserwacja Stoja 1677 m n.p.m. z Radziejowej 1266 m n.p.m.

M = 1,938, przy d = 210 km i x = 865 m

Dla obserwacji Lodowego Szczytu 2627 m n.p.m. z Salomina 260 m n.p.m. 

M = 2,669, przy d = 224 km i  x = 984 m

Dla obserwacji Łomnicy 2634 m n.p.m. z Góry Św.Anny 408 m n.p.m. 

M = 3,259, przy d = 203 km i x = 808 m

Jak widać, obiekty muszą być znacznie wyższe od krzywizny, pomimo iż ledwo wystają ponad horyzont. Prześledźmy jeszcze przykład na podstawie fotografii. Modelowym przypadkiem, będzie obserwacja Tatr z Płaskowyżu Proszowickiego. Konkretnie Salatyna z południowo-wschodniego stoku Patrolni.


Odległość pomiędzy punktami to 114 kilometrów. Mniej więcej w połowie dystansu, na 61 kilometrze, a zatem w maksimum krzywizny znajduje się grzbiet Lubonia Małego. Fliszowy wał osiąga w tym miejscu 870  m n.p.m. Dodając tą wartość do wartości krzywizny wynoszącej 255 metrów, otrzymujemy całe 1135 metrów przeszkody dla światła, które redukujemy o wysokość punktu obserwacyjnego na stoku Patrolni - 300 metrów. Otrzymamy wartość zakrycia wynoszącą 835 metrów. Zakrycie wzrasta liniowo, więc zgodnie z proporcją na 114 kilometrze zakrycie sięgnie 1560 metrów. W związku z tym Salatyn mierzący 2047 m n.p.m. winien być zakryty właśnie do wysokości 1560 m n.p.m. Tymczasem w rzeczywistości Salatyn zaczyna wystawać od znacznie wyższej wysokości. Symulacja wskazuje dopiero rejon poziomicy 1775 m n.p.m., a przez obecność lasu na Luboniu Małym będzie to rejon poziomicy 1800 m n.p.m.

Oto efekt próbkowania wysokości grzbietu Zadniego Salatyna zachodzącego za Luboń Mały.



Oraz porównanie na bardzo dużym przekadrowaniu kadru macierzystego na 200 mm.


Kalkulacje zostały poczynione bez wpływu refrakcji. Obraz Salatyna jest więc i tak lekko podniesiony w stosunku do położenia geometrycznego i bez tego wpływu wystawał by pewnie gdzieś od ok. 1900 m n.p.m. co będzie zmienne w zależności od warunków atmosferycznych. Tak więc odchylenie obiektów na sferze, ma niebagatelne znaczenie przy dalekich obserwacjach. Przeszkody terenowe i krzywizna to nie wszystko.

9 komentarzy:

  1. A czy z Mount Everestu byłoby widać krzywiznę Ziemi ? Jeśli nie,to z jakiej wysokości jest widoczna?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Obawiam się, że nie będzie widać, albo widnokrąg będzie tylko lekko i subtelnie zakrzywiony. Pewność takiego widoku to już raczej dają pułapy na których krąży ISS.

      Usuń
  2. A co to jest współczynnik refrakcji i jaki może być max tego współczynnika?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. To współczynnik załamania przy przejściu promienia światła z jednego ośrodka do drugiego. W naszym przypadku, będzie to przejście pomiędzy warstwami powietrza o różnej temperaturze i przy tym gęstości. Jeśli chodzi o maksymalną realną wartość, to nie da się tego ustalić ze 100% pewnością. Po prostu nie wiemy na ile stać jeszcze matkę naturę i jakiekolwiek szacowanie z czasem może okazać się błędne.

      Usuń
    2. Ok. Dziękuję :)

      Usuń
  3. Mam pytanie : pomiędzy dwoma szczytami liczy się horyzont radarowy czy wizualny?

    OdpowiedzUsuń
  4. Jak jesteś hobbistą łącznościowcem to powinien zainteresować Cię horyzont radarowy, czy tam radiowy, ale w naszym przypadku istotna jest sprawa horyzontu wizualnego (lepiej go określać per optyczny). Obydwa przypadki opisują w zasadzie rzeczy podobne, a mianowicie zasięg fal elektromagnetycznych w atmosferze ziemskiej. Wszystkie fale elektromagnetyczne ulegają ugięciu przy zmianie ośrodków, choć niektóre nie dolecą zbyt daleko bo zanim się ugną jakoś znacznie, to zostaną pochłonięte przy zderzeniu z jakąś cząsteczką. Fale radiowe mają większą długość fali, mniejszą energię niż UV-VIS i w wyniku ugięcia mają większy zasięg za horyzont geometryczny.

    OdpowiedzUsuń
  5. Jeżeli z pewnej góry szczyt jest widoczny tylko po podniesieniu, to czy ciężko jest oszacować, czy może być widoczny ten szczyt ?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Na problem trzeba popatrzeć z dwóch stron. Z jednej strony trzeba patrzeć na geometrię terenu i tu sprawa jest jasna i nie potrzeba dyskusji. Natomiast pod kątem szans na odpowiednie warunki atmosferyczne, to sprawa nieco przypomina loterię, przy której możemy sobie jedynie zwiększać szanse na prawidłową ocenę.

      Usuń