SNELLIUS vs. PITAGORAS 1:0


     Czyli o dalekich obserwacjach od kuchni...

Fotografowie posiadający w arsenale lufę o długiej ogniskowej, często gdybają o granicach możliwości obserwacyjnych z danego punktu. Możliwe? Niemożliwe? Prawdopodobne? Mało prawdopodobne? Większość tego typu wątpliwości, rozwiązują dziś użyteczne narzędzia online lub programy komputerowe. Takie jak np. te które zamieściłem w zakładce "narzędzia". Niemniej programy nie biorą tych wyników z kryształowej kuli, a podstawowe założenia matematyczne z tym związane, wcale nie są aż tak skomplikowane. Wszystko da się policzyć w zasadzie bez większego wysiłku za pomocą kalkulatora i kartki papieru, czego oczywiście nie polecam ze względów praktycznych. Chyba, że nie mamy nic pod ręką poza mapą, kalkulatorem i przyborami do pisania. Do podstawowych założeń którymi będziemy operować, to fakt że ziemia w przybliżeniu jest kulą o znanym, uśrednionym promieniu. No to parzymy kawę, rysujemy i liczymy...



R=6371⋅103 m (uśredniony promień ziemi)
h=wysokość punktu obserwacyjnego (w metrach)
d=odległość do widnokręgu (w kilometrach)

Zatem podpinamy to do najzwyklejszego na świecie twierdzenia Pitagorasa


Tutaj dochodzimy do dramatycznego momentu. Sytuacja wygląda następująco: W równaniu po prawej stronie została tylko jedna zmienna pod dwoma pierwiastkami. Pokusimy się więc o wyciągnięcie stałej. Stosunek wysokości obserwatora "h" do podwójnego promienia Ziemi "2R", czyli w zasadzie jej średnicy jest znikomo mały i dla wysokości np. takiego szczytu jak Gerlach wynosi  0,02% co jest znacznie mniejsze od chociażby 5% błędu w rozkładzie Gaussa. Dla niższych szczytów, np. dla Łysicy wartość ta będzie wynosić tylko 0,0048%. Zatem bezpardonowo i z czystym sumieniem, wywalamy "h"  spod pierwiastka.


Modyfikując wyrażenie dla dystansu w kilometrach wychodzi nam:


Natomiast w sytuacji w której podawalibyśmy wszystkie wartości w kilometrach, to równanie przybierze taką formę:


Przypadek możemy rozwinąć do sytuacji, gdy obiekt poza widnokręgiem posiada niezerową wysokość ponad poziom morza. Tutaj wystarczy do wyrażenia dodać "lustrzany" fragment z drugą zmienną "h2".



Oraz odpowiednio dla wartości podawanych w kilometrach


Jednak to nie koniec naszych obliczeń. Było by zdecydowanie gorzej dla obserwatorów, gdyby fotony biegły tak jak to narysowałem na uproszczonych schematach powyżej. Tzn. po liniach prostych, od jednego maźnięcia za pomocą ekierki.  Tutaj musimy wspomnieć pewnego dżentelmena, żyjącego w Niderlandach na przełomie XVI i XVII wieku. Otóż niejaki Willebrord Snell aka Snellius, paradujący w fałdowanej kryzie po salonach uniwersytetu w Lejdzie dowiódł, że z rozchodzeniem się promieni świetlnych jest jednak ciut więcej zagwozdek niż się uprzednio wydawało i tor światła biegnie po linii prostej tylko w próżni, bądź w innym ośrodku jednorodnym. Oczywiście do tej kategorii nie będzie należeć ziemska atmosfera. Tutaj dochodzimy do jednego z ważniejszych aspektów dalekich obserwacji, czyli refrakcji atmosferycznej. Dzięki niej realny zasięg pola widzenia przekracza zasięg geometryczny. O samej refrakcji napomkniemy jednak tylko ogólnikowo, w kontekście do tego jak zmieni nam wyprowadzane wzory.

Może i Kopernik wstrzymał słońce, ale to ja załamałem promienie świetlne.

Refrakcja atmosferyczna sprawia, że tor światła w atmosferze ugina się w zależności od współczynnika załamania powietrza w którym się rozchodzi. Sam współczynnik załamania powietrza zależny jest od jego gęstości, która z kolei jest zależna głównie od ciśnienia i temperatury oraz wilgotności (wartość współczynnika jest tablicowana względem wymienionych zmiennych). Warstwy powietrza o różnej gęstości, będą miały różne współczynniki załamania (w przypadku powietrza gęstsza warstwa ma większy współczynnik) i zgodnie z twierdzeniem Pana Snelliusa, fotony będą odchylać swój tor przy przechodzeniu z warstwy do warstwy. W dużym uproszczeniu, możemy traktować taką atmosferę, jako układ soczewek załamujących światło z różnymi współczynnikami załamania. W standardowych warunkach, refrakcja atmosferyczna przesuwa zasięg widnokręgu o ok. 8% w stosunku do wartości geometrycznej. Mnożąc powyższe wzory przez współczynnik 1,08 otrzymujemy równania ostateczne.

Dla wartości podanych w metrach:


Dla wartości podanych w kilometrach:


Miejmy jednak na uwadze, że powyższe równania spełnione są dla przyjętych uprzednio warunków. Czyli przy uśrednionym promieniu Ziemi - 6371 km, oraz przy standardowej refrakcji. Tak czy owak, w większości wypadków nasze wzory będą miały pokrycie z rzeczywistymi obserwacjami. Jednak refrakcja bywa czasem "niestandardowa". Przy zwiększonym załamywaniu drogi światła, stała w równaniu będzie dążyła do 4-ki lub nawet będzie ją przekraczać. Bywają również sytuacje gdzie refrakcja sprawi, że stała będzie mniejsza niż 3,854 i będzie zmierzała w kierunku wartości zasięgu geometrycznego.  

Szach mat Pitagorasie. W tym sporcie, linii prostej nie ma, nie było i nie będzie...

Komentarze

  1. Z wiadomych względów będę polecał ten post jako obowiązkową lekturę dla sympatyków teorii wklęsłej Ziemi, którzy uczepili się dalekich obserwacji, i próbują z nich zrobić jeden z argumentów szerząc swój pogląd.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Jesteśmy w trudnej sytuacji, bo oskrzydlają nas także "płaszczaki". Wygląda na to, że nie są opieszali i nie żartują. Zamieszczam link do ich szatańskiego portalu:

      http://www.tfes.org/

      Usuń
  2. Jednostki Panie, jednostki! Bez nich Twoje wyliczenia są niekompletne. A tak poza tym ciekawy blog, pozdrawiam.

    OdpowiedzUsuń
  3. Bardzo fajny post! Ten wzór z współczynnikiem 4.12 jest używany również do szacowania zasięgu radiostacji VHF :) Jak bym się czegoś miał czepić to znaku "x" w przypadku mnożenia skalarnego, i jednostek (km) jak poprzednik zauważył ;)

    OdpowiedzUsuń
  4. Właśnie zabrałem się za jednostki. Złe przeczucie, które miałem się ziściło. Coś popitoliłem i to konkretnie, bo dystans wychodzi mi jako metry kwadratowe. Wieczorem poczynię kolejną medytację nad tymi wyliczeniami.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Dobrze wychodzi, współczynik 3,56 ma jednostkę "pierwiastek z [m]", mnożysz przez pierwiastek z h też w [m] i jest [m] :)

      Usuń
    2. Przejrzałem po raz wtóry. Ciśnienie opadło, ale dzięki za uwagi i straż merytoryczną :)

      Usuń
  5. Nie wiem, czy to znacie, ale jest gość, który prognozuje refrakcję troposferyczną: http://www.dxinfocentre.com/tropo_eur.html

    OdpowiedzUsuń
  6. A co to jest refrakcja troposferyczna?

    OdpowiedzUsuń
  7. W tym wypadku chodzi o stopień ugięcia promieni świetlnych w ośrodku określonym w przymiotniku tzn. w troposferze.

    OdpowiedzUsuń

Publikowanie komentarza

Popularne posty z tego bloga

TATRZAŃŚKA KUŹNIA DALEKOOBSERWACYJNA

SŁUPY SĘDZIWOJA - ZACHÓD

ALPEJSKIE AKWARELE